TEORIA DE ERRORES

Un error es una incertidumbre en el resultado de una medida. Se define como la diferencia entre el valor real Vr y una aproximación a este valor Va:

e = Vr – Va

Existen diferentes tipos errores, cada uno se puede expresar en forma absoluta o en forma relativa.

METODO DE LA BISECCION

Unas cuantas iteraciones del método de bisección aplicadas en un intervalo [a₁;b₁]. El punto rojo es la raíz de la función.

En matemáticas, el método de bisección es un algoritmo de búsqueda de raíces que trabaja dividiendo el intervalo a la mitad y seleccionando el subintervalo que tiene la raíz.

METODO DE LA SECANTE

Dos primeras iteraciones del método de la secante.

En análisis numérico el método de la secante es un método para encontrar los ceros de una función de forma iterativa.
Es una variación del método de Newton-Raphson donde en vez de calcular la derivada de la función en el punto de estudio, teniendo en mente la definición de derivada, se aproxima la pendiente a la recta que une la función evaluada en el punto de estudio y en el punto de la iteración anterior. Este método es de especial interés cuando el coste computacional de derivar la función de estudio y evaluarla es demasiado elevado, por lo que el método de Newton no resulta atractivo.
En otras palabras, el método de la secante es un algoritmo de la raíz de investigación que utiliza una serie de raíces de las líneas secantes para aproximar mejor la raíz de una función f. El método de la secante se puede considerar como una aproximación en diferencias finitas del método de Newton-Raphson. Sin embargo, este método fue desarrollado independientemente de este último.

 

METODO DE LA REGLA FALSA

Consideremos nuevamente una gráfica como la anterior,

Donde hemos agregado la línea recta que une los puntos extremos de la gráfica en el intervalo  .
Es claro que si en lugar de considerar el punto medio del intervalo, tomamos el punto donde cruza al eje  esta recta, nos aproximaremos mucho más rápido a la raíz; ésta es en sí, la idea central del método de la regla falsa y ésta es realmente la única diferencia con el método de bisección, puesto que en todo lo demás los dos métodos son prácticamente idénticos.

METODO DE NEWTON-RAPHSON

Este método se utiliza para encontrar aproximaciones que converjan hacia la raíz que buscamos, por medio de iteraciones, que no es otra cosa que comenzar con un valor cercano a cero, y después ir hallando las rectas tangentes a la función que se nos plantea, hasta que encontremos uno que se aproxime lo suficiente a la raíz.

METODO DEL PUNTO FIJO

Los dos puntos fijos, marcados en rojo, de la función ${\displaystyle f(x)=x^{2}-4}$

El método del punto fijo es un método iterativo que permite resolver sistemas de ecuaciones no necesariamente lineales. En particular se puede utilizar para determinar raíces de una función de la forma ${\displaystyle f(x)}$, siempre y cuando se cumplan los criterios de convergencia.

FACTORIZACION LU

En el álgebra lineal, la factorización o descomposición LU (del inglés Lower-Upper) es una forma de factorización de una matriz como el producto de una matriz triangular inferior y una superior. Debido a la inestabilidad de este método, deben tenerse en cuenta algunos casos especiales, por ejemplo, si uno o varios elementos de la diagonal principal de la matriz a factorizar es cero, es necesario premultiplicar la matriz por una o varias matrices elementales de permutación. Método llamado factorización ${\displaystyle PA=LU}$ o ${\displaystyle LU}$ con pivote. Esta descomposición se usa en el análisis numérico para resolver sistemas de ecuaciones (más eficientemente) o encontrar las matrices inversas.

METODO DE JACOBI

En la iteración de Jacobi, se escoge una matriz Q que es diagonal y cuyos elementos diagonales son los mismos que los de la matriz A. La matriz Q toma la forma:

MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL

La iteración de Gauss-Seidel se define al tomar Q como la parte triangular inferior de A incluyendo los elementos de la diagonal:

Si, como en el caso anterior, definimos la matriz R=A-Q

y la ecuación se puede escribir en la forma:

Qx^(k) = -Rx^(k-1) + b

Un elemento cualquiera, i, del vector Qx^(k) vendrá dado por la ecuación:

Si tenemos en cuenta la peculiar forma de las matrices Q y R, resulta que todos los sumandos para los que j > i en la parte izquierda son nulos, mientras que en la parte derecha son nulos todos los sumandos para los que . Podemos escribir entonces:

	=
	=

de donde despejando x_i^(k), obtenemos:

Obsérvese que en el método de Gauss-Seidel los valores actualizados de x_i sustituyen de inmediato a los valores anteriores, mientras que en el método de Jacobi todas las componentes nuevas del vector se calculan antes de llevar a cabo la sustitución. Por contra, en el método de Gauss-Seidel los cálculos deben llevarse a cabo por orden, ya que el nuevo valor x_i depende de los valores actualizados de x₁, x₂, ..., x_i-1.
En la figura  se incluye un algoritmo para la iteración de Gauss-Seidel.


 

Figure: Algoritmo para la iteración de Gauss-Seidel.

Video de apoyo: