METODO DE LA REGLA FALSA

Consideremos nuevamente una gráfica como la anterior,

Donde hemos agregado la línea recta que une los puntos extremos de la gráfica en el intervalo  .
Es claro que si en lugar de considerar el punto medio del intervalo, tomamos el punto donde cruza al eje  esta recta, nos aproximaremos mucho más rápido a la raíz; ésta es en sí, la idea central del método de la regla falsa y ésta es realmente la única diferencia con el método de bisección, puesto que en todo lo demás los dos métodos son prácticamente idénticos.


Supongamos que tenemos una función    que es contínua en el intervalo    y  además,   y   tienen signos opuestos.
Calculemos la ecuación de la línea recta que une los puntos  ,  . Sabemos que la pendiente de esta recta esta dada por:
Por lo tanto la ecuación de la recta es:
Para obtener el cruce con el eje , hacemos  :
Multiplicando por   nos da:
Finalmente, de aquí despejamos :
Este punto es el que toma el papel de    en lugar del punto medio del método de bisección.
Así pues, el método de la regla falsa sigue los siguientes pasos:
Sea   contínua,
i) Encontrar valores iniciales  ,    tales que    y    tienen signos opuestos, es decir,
ii) La primera aproximación a la raíz se toma igual a:
iii)  Evaluar  . Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos:
En este caso,  tenemos que    y    tienen signos opuestos, y por lo tanto la raíz se encuentra en el intervalo  .
En este caso,  tenemos que    y    tienen el mismo signo, y de aquí que    y   tienen signos opuestos. Por lo tanto, la raíz se encuentra en el intervalo  .
En este caso se tiene que   y por lo tanto ya localizamos la raíz.
El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo, hasta que:
Ejemplo 1
Usar el método de la regla falsa para aproximar la raíz de , comenzando en el intervalo   y hasta que  .
Solución
Este es el mismo ejemplo 1 del método de la bisección. Así pues, ya sabemos que    es contínua en el intervalo dado y que  toma signos opuestos en los extremos de dicho intervalo. Por lo tanto podemos aplicar el método de la regla falsa.
Calculamos  la primera aproximación:
Puesto que solamente tenemos una aproximación, debemos seguir con el proceso.

Así  pues, evaluamos

Y hacemos nuestra tabla de signos:

De donde vemos que la raíz se encuentra en el intervalo  .
Con este nuevo intervalo,  calculamos la nueva aproximación:
En este momento, podemos calcular el primer error aproximado:
Puesto que no se cumple el objetivo seguimos con el proceso.
Evaluamos  , y hacemos la tabla de signos:

De donde vemos que la raíz se encuentra en el intervalo  , con el cual, podemos calcular la nueva aproximación:
Y el error aproximado:
Como se ha cumplido el objetivo, concluímos que la aproximación buscada es:
Observe la rapidez con la cual converge el método de la regla falsa a la raíz, a diferencia de la lentitud del método de la bisección.