jueves, 22 de marzo de 2018

MÉTODO DE GAUSS-SEIDEL

La iteración de Gauss-Seidel se define al tomar Q como la parte triangular inferior de A incluyendo los elementos de la diagonal:
\begin{displaymath}Q= \left( \begin{array}{ccccc} a_{11} & 0 & 0 & \cdots & 0 ... ...a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & \cdots & a_{nn} \end{array}\right) \end{displaymath}

Si, como en el caso anterior, definimos la matriz R=A-Q
\begin{displaymath}R= \left( \begin{array}{ccccc} 0 & a_{12} & a_{13} & \cdots... ...dots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \end{array} \right) \end{displaymath}

y la ecuación se puede escribir en la forma:
Qx(k) = -Rx(k-1) + b

Un elemento cualquiera, i, del vector Qx(k) vendrá dado por la ecuación:
\begin{displaymath}\sum_{j=1}^{n} a_{ij}x_{j}^{(k)} = -\sum_{j=1}^{n} a_{ij}x_{j}^{(k-1)} + b_{i} \end{displaymath}

Si tenemos en cuenta la peculiar forma de las matrices Q y R, resulta que todos los sumandos para los que j > i en la parte izquierda son nulos, mientras que en la parte derecha son nulos todos los sumandos para los que $j \leq i$. Podemos escribir entonces:
$\displaystyle \sum_{j=1}^{i} a_{ij}x_{j}^{(k)}$ = $\displaystyle -\sum_{j=i+1}^{n} a_{ij}x_{j}^{(k-1)} + b_{i}$
$\displaystyle a_{ii}x_{i}^{(k)} + \sum_{j=1}^{i-1} a_{ij}x_{j}^{(k)}$ = $\displaystyle -\sum_{j=i+1}^{n} a_{ij}x_{j}^{(k-1)} + b_{i}$

de donde despejando xi(k), obtenemos:
\begin{displaymath}x_{i}^{(k)} = \left( b_{i} - \sum_{j=1}^{i-1} a_{ij}x_{j}^{(k)} - \sum_{j=i+1}^{n} a_{ij}x_{j}^{(k-1)} \right) / a_{ii} \end{displaymath}

Obsérvese que en el método de Gauss-Seidel los valores actualizados de xi sustituyen de inmediato a los valores anteriores, mientras que en el método de Jacobi todas las componentes nuevas del vector se calculan antes de llevar a cabo la sustitución. Por contra, en el método de Gauss-Seidel los cálculos deben llevarse a cabo por orden, ya que el nuevo valor xi depende de los valores actualizados de x1, x2, ..., xi-1.
En la figura  se incluye un algoritmo para la iteración de Gauss-Seidel.


 
Figure: Algoritmo para la iteración de Gauss-Seidel.
\begin{figure} \begin{center} \begin{tabular}{\vert l\vert} \hline \\ ~~~~~... ...($x_{j}$ ) \\ ~ \\ \hline \end{tabular} \end{center} \protect\end{figure}

Video de apoyo:

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