METODO DEL PUNTO FIJO

Los dos puntos fijos, marcados en rojo, de la función ${\displaystyle f(x)=x^{2}-4}$

El método del punto fijo es un método iterativo que permite resolver sistemas de ecuaciones no necesariamente lineales. En particular se puede utilizar para determinar raíces de una función de la forma ${\displaystyle f(x)}$, siempre y cuando se cumplan los criterios de convergencia.

Descripción del método

El método de iteración de punto fijo, también denominado método de aproximación sucesiva, requiere volver a escribir la ecuación ${\displaystyle f(x)=0}$ en la forma ${\displaystyle x=g(x)}$.

Llamemos ${\displaystyle x^{*}}$ a la raíz de ${\displaystyle f}$. Supongamos que existe y es conocida la función ${\displaystyle g}$ tal que:
${\displaystyle f(x)=x-g(x)}$ ${\displaystyle \forall x}$ del dominio.
Entonces:
${\displaystyle f(x^{*})=0\Leftrightarrow x^{*}-g(x^{*})=0\Leftrightarrow x^{*}=g(x^{*})}$

Tenemos, pues, a ${\displaystyle x^{*}}$ como punto fijo de ${\displaystyle g}$.

Procedimiento

El procedimiento empieza con una estimación o conjetura inicial de ${\displaystyle x}$, que es mejorada por iteración hasta alcanzar la convergencia. Para que converja, la derivada ${\displaystyle (dg/dx)}$ debe ser menor que 1 en magnitud (al menos para los valores x que se encuentran durante las iteraciones). La convergencia será establecida mediante el requisito de que el cambio en ${\displaystyle x}$ de una iteración a la siguiente no sea mayor en magnitud que alguna pequeña cantidad ε.

Algoritmo para iteración de punto fijo

1. Se ubica la raíz de ${\displaystyle f(x)}$ analizando la gráfica.
2. Se despeja de manera: ${\displaystyle x=g(x)}$ .
3. Obtenemos de ${\displaystyle x=g(x)}$ su derivada ${\displaystyle g\prime (x)}$.
4. Resolviendo la desigualdad -1 ≤ ${\displaystyle g\prime (x)}$ ≤ 1 obtenemos el rango de valores en los cuales esta el punto fijo llamado R.
5. Con R buscamos la raíz en ${\displaystyle g(x)}$, es decir ${\displaystyle g(R)=R}$ haciendo iteración de las operaciones.

Ejemplo 1

Sea ${\displaystyle f(x)=x^{2}-5x+3}$ una función, encuentre la raíz.
Ubicamos la ráiz analizando la gráfica.

Obtenemos ${\displaystyle x=g(x)}$:
${\displaystyle x={\sqrt {5x-3}}}$
Después obtenemos la derivada de la función:
${\displaystyle {dg \over dx}}$${\displaystyle ={5 \over 2{\sqrt {5x-3}}}}$
Entonces resolvemos las desigualdades:
${\displaystyle {5 \over 2{\sqrt {5x-3}}}<1}$
La solución es:
${\displaystyle ({37 \over 20},\infty )}$
${\displaystyle {5 \over 2{\sqrt {5x-3}}}>-1}$
La solución es:
${\displaystyle ({3 \over 5},\infty )}$
O visto de otra manera, vemos que en la gráfica de la derivada existen valores entre -1 y 1:

Ya que se tienen los valores del rango R, encontramos la raíz haciendo la iteración de las operaciones:

En la tabla se puede ver el valor que en este caso se usó de R, la iteración consiste en usar ese valor en ${\displaystyle x=g(x)}$ para obtener los siguientes valores haciendo la misma operación usando el valor anterior.
Después de un número considerable de iteraciones obtenemos la raíz en ${\displaystyle 4.30268775}$